어떤 시스템의 안정도를 판별하는데 사용한다. 극점이 단위원 안에 있으면 안정으로 판별한다.
FIR 시스템의 경우엔 항상 안정적이기 때문에 따로 안정도를 판별할 필요가 없다. 하지만 IIR 시스템의 경우 극점을 가지고 있기 때문에 안정도를 판별해야한다.
차분방정식을 z 변환 시켜준다. 수식의 좌변과 우변을 전부 z 변환 해주는 것이다. 이 수식을 통해 전달함수를 도출해낼 수 있다. 시스템의 안전여부를 파악하기 위해서는 극점을 구해야 한다.
극점을 구하기 위해서는 분모다항식을 0으로 가정하고 다항식을 풀어야한다.
근의 공식을 사용하여 두개의 극점과 하나의 영점을 구할 수 있다. 안정도를 판별하기 위해서는 극점을 그래프에 표기해 확인하는 것이 좋다. 피타고라스의 정리를 이용해 극점이 단위원 내에 있을 경우 안정 시스템이며 반대의 경우 불안정 시스템이다.
2. 필터의 종류 판별
- FIR 필터
전달함수의 영점을 통해 FIR 필터의 종류를 판별할 수 있다.
영점이 2사분면과 3사분면에 있으면 저역통과필터(LPF)이며
영점이 1사분면과 4사분면에 있으면 고역통과필터 (HPF)이다.
또한 분자 다항식이 하나만 존재할 경우 극점이 존재하지 않는다.
- IIR 필터
전달함수의 극점을 통해 IIR 필터의 종류를 판별할 수있다.
극점이 1사분면과 4사분면에 있으면 저역통과필터(LPF)이며
극점이 2사분면과 3사분면에 있으면 고역통과필터 (HPF)이다.
3. 다양한 디지털 필터 구조를 만듦
필터설계가 끝나면 전달함수, 차분방정식를 얻을 수 있으며 필터의 구조를 만들 수 있다. 차분방정식을 단위지연소자, 곱셈기, 덧셈기 세가지 소자를 사용하면 필터 구조설계가 가능하다. 예를 들어 입력신호는 x[n], x[n-1], x[n-2]가 필요하다. X[n-1], x[n-2]를 사용하기 위해 단위지연소자를 사용하며, 이 과정을 통해 x[n-1], x[n-2]가 만들어진다. 그 후 곱셈기를 사용하여 x[n-1]에 -0.75를 곱해주고 x[n-2]엔 0.125를 곱해준다. x[n]은 1을 곱해주는 것이기 때문에 곱셈기를 사용할 필요가 없다. 위의 과정을 모두 덧셈기를 사용해 더해줘서 y[n] 값을 도출한다.
차분방정식은 하나의 구조밖에 만들 수 없다.
차분방정식이 아니라 전달함수를 사용하는 경우 필터의 구조를 바꿀 수 있다. 다양한 필터 구조를 만드는 이유는 각각의 필터 구조마다 유한정세도특성(finite precision characteristics)이 다르기 때문이다. 차분방정식이 아니라 전달함수를 이용하면 여러가지 구조를 도출할 수 있는데 이것은 유한정세도 특성이 좋다는 것을 의미한다.
4. 필터 구조에서 전달함수 찾기 차분방정식을 z변환하여 전달함수를 얻는다. 전달함수는 2차 다항식이므로 다음과 같이 두개의 1차 다항식으로 인수분해가 가능하다. H1(z), H2(z)는 직렬연결이 된다. 직렬연결의 경우 impulse 응답은 h1(n), h2(n)의 컨볼루션이다.
이것에 z변환을 진행하면 H1(z), H2(z) 값이 도출된다. z domain상에서는 두개의 곱이되며 시간영역에선 컨볼루션이 된다는 것을 의미한다.
따라서 이 필터는 두 개 필터의 직렬연결로 구성될 수 있다. 이 과정을 통해 전달함수를 사용하여 여러가지 구조를 다양하게 만들 수 있다.
5. 전달 함수에서 차분방정식 찾기
FIR 필터구조
입력신호에 z(n)을 인가하면 출력은 전달함수*z(n)이 된다.
입력이 z^n이면 출력은 H(z)z^n이 되는 성질을 이용해서 전달함수 값을 도출할 수 있다.
출력은 b₀*z^n,b₁*z^n-1 신호를 더한 값이다. 양변에 z(n)이 있으므로 두 항을 묶어준 후 z^n을 나누어준다.
그럼 H(z) 값을 얻을 수 있는데 FIR 필터는 이러한 방식으로 전달함수 값을 찾을 수 있다.
IIR 필터구조
IIR 필터는 H(n)을 구할 때 분자다항식, 분모다항식을 구해야 하며 항상 분모다항식이 존재한다.
FIR 필터구조와 이용하는 성질은 마찬가지이다. 좌측에서 오는 신호와 하단에서 오는 신호를
더해서 구할 수 있다.
z^n와 H(z)z^n이 지연소자를 통과했으므로 H(z)^n-1을 서로 뺄셈해준다. H(z)를 좌측으로
이항시키고FIR 필터와 마찬가지로 양변을 z^n으로 나누어준다.
그럼 H(z) 값을 얻을 수 있는데 IIR 필터는 이러한 방식으로 전달함수 값을 찾을 수 있다.
6. 필터의 출력
FIR 필터구조
시스템의 전달함수와 입력의 z 변환이 주어진 경우에 출력의 z 변환을 컨볼루션 성질을 이용하여 필터의 출력을 구할 수 있다. 출력이 y(n)이고 입력신호가 x(n)이며 임펄스 응답이 h(n)일 경우 출력을 구하기 위해서는 h(n)*x(n)다시말해컨볼루션을 진행해주어야 한다. 시간영역에서의 컨볼루션은 주파수 영역인 z영역에선 곱셈이 된다.
단 입력신호와 임펄스 신호는 각각 다항식으로 표시된다.
H(z), X(z) 값이 주어져 있다면 두개의 다항식을 z변환으로 곱해줌으로써 출력을 구할 수 있다.
그럼 3차 다항식으로 결과가 나오게 되는데 이것을 역 z변환하여 출력신호를 구할 수 있다.
IIR 필터구조
H(z)가 IIR 필터로 구성되어 있는 경우 분자다항식/분모다항식으로 표현된다.
두 값을 곱하면 y(z)에 분자다항식만 있는 것이 아니라 분자, 분모가 모두 다항식으로 나타나게 된다. 그 후 FIR 필터에서도 사용한 역 z변환을 통해 출력신호를 구할 수 있다.
하지만 일반적으로 IIR 필터의 구조를 그리고 입력단에 인가된 신호를 보내 그 구조에서 신호를 찾는 방법이 일반적이다.
